Capítulo 6 Medidas de posición (cuantiles)
Estos estadigrafos dividen al conjunto de datos en un número determinado.
6.1 Cuartiles
Los cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes (corresponden a los cuantiles 0,25; 0,50 y 0,75); \(Q_1, Q_2, Q_3\)
6.1.1 Datos no agrupados
Sean los datos 1, 2, 5, 1 ,5, 6, 7, 8, 9, 3, 4, 5, 2, 6, 2, 5, 6, 7. Ordenar de menor a mayor (creciente)
Si \[Q_k=\frac{k(n+1)}{4}\] es entero entonces el cuartil es el dato de la posición \(Q_k=x_\frac{k(n+1)}{4}\) en caso contrario se interpola los datos extremos donde se encuentra el valor \(Q_k\)
- Ejemplo 1, 2, 5, 1 ,5, 6, 7, 8, 9, 3, 4, 5, 2, 6, 2, 5, 6, 7 ordenados de menor a mayor 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9.
\(Q_1=\frac{1(18+1)}{4}=4.75\) interpolando \(Q_1=2+(2-2)\cdot 0.75=2\)
\(Q_2=\frac{2(18+1)}{4}=9.5\) interpolando \(Q_2=5+(5-5)\cdot 0.5=5\)
\(Q_3=\frac{3(18+1)}{4}=14.25\) interpolando \(Q_3=6+(7-6)\cdot 0.25=6.25\)
6.1.2 Datos agrupados
\[Q_k=L_i+ a_i\left(\frac{\frac{kn}{4}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right);k=1,2,3\]
- \(L_i\) limite inferior del intervalo que contiene al decil
- \(F_{i-1}\) frecuencia acumulada en la clase anterior al decil
- \(F_i\) frecuencia acumulada en la clase al decil
- \(a_i\) amplitud interválica
- \(n\) numero de datos
- \(k\) índice del cuartil correspondiente
| Clase | \(Y_i\) | \(f_i\) | \(F_i\) |
|---|---|---|---|
| \([5,10)\) | 7.5 | 1 | 1 |
| \([10,15)\) | 12.5 | 2 | 3 |
| \([15,20)\) | 17.5 | 5 | 8 |
| \([20,25)\) | 22.5 | 7 | 15 |
| \([25,30)\) | 27.5 | 10 | 25 |
| \([30,35)\) | 32.5 | 6 | 31 |
| \([35,40)\) | 37.5 | 5 | 36 |
| \([40,45]\) | 42.5 | 3 | 39 |
| \(\sum\) | 39 |
\[ \begin{aligned} Q_1&=L_i+ a_i\left(\frac{\frac{1n}{4}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\\ &=L_i+ a_i\left(\frac{\frac{1*39}{4}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\\ &=20+ 5\cdot\left(\frac{9.75 -8}{15-8}\right)\\ &=21.5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_2&=L_i+ a_i\left(\frac{\frac{2n}{4}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\\ &=L_i+ a_i\left(\frac{\frac{2*39}{4}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\\ &=25+ 5\cdot\left(\frac{19.5 -15}{25-15}\right)\\ &= 27.5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_3&=L_i+ a_i\left(\frac{\frac{3n}{4}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\\ &=L_i+ a_i\left(\frac{\frac{2*39}{4}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\\ &=30+ 5\cdot\left(\frac{29.25 -25}{31-25}\right)\\ &= 33.542 \end{aligned} \]
6.2 Quintiles
Similar al caso anterior
\[Q_5=L_i+ a_i\left(\frac{\frac{kn}{5}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\] donde \(k=1,2,3,4\)
6.3 Deciles
Los deciles, que dividen a la distribución en diez partes es decir \(D_1, D_2,\ldots, D_9\)
6.3.1 Datos no agrupados
Sean los datos 1, 2, 5, 1 ,5, 6, 7, 8, 9, 3, 4, 5, 2, 6, 2, 5, 6, 7 Ordenar de menor a mayor (creciente)
Si \[D_k=\frac{k(n+1)}{10}\] es entero entonces el decil es el dato de la posicion \(D_k=x_\frac{k(n+1)}{10}; k=1, 2, 3, \ldots, 9\) Si \[D_k=\frac{k(n+1)}{10}\] no es entero entonces el decil es la interpolacion lineal de de los dos valores entre las cuales se encuentra \(D_k=\frac{k(n+1)}{10}\)
Ejemplo 6.1 Sean los datos: 1, 2, 5, 1 ,5, 6, 7, 8, 9, 3, 4, 5, 2, 6, 2, 5, 6, 7 ordenados de menor a mayor 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9 entonces
\[D_9=\frac{9(18+1)}{10}=17.1\] interpolando el decil 9 es \(D_9=8+(9-8)\cdot 0.1=8.1\)
6.3.2 Datos agrupados
La fórmula es \[D_k=L_i+ A\left(\frac{\frac{kn}{10}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\]
| Clase | \(Y_i\) | \(f_i\) | \(F_i\) |
|---|---|---|---|
| \([5,10)\) | 7.5 | 1 | 1 |
| \([10,15)\) | 12.5 | 2 | 3 |
| \([15,20)\) | 17.5 | 5 | 8 |
| \([20,25)\) | 22.5 | 7 | 15 |
| \([25,30)\) | 27.5 | 10 | 25 |
| \([30,35)\) | 32.5 | 6 | 31 |
| \([35,40)\) | 37.5 | 5 | 36 |
| \([40,45]\) | 42.5 | 3 | 39 |
| :———: | :—–: | :—–: | :—–: |
| \(\sum\) | 39 |
\[D_9=L_i+ A\left(\frac{\frac{9\cdot 39}{10}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\]
Entonces \(\frac{9\cdot 39}{10}=35.1\)
\[D_9=35+ 5\left(\frac{35.1-31}{36-31}\right)=39.1\]
6.4 Percentiles
Los percentiles, que dividen a la distribución en diez partes es decir \(P_1, P_2,\ldots, P_{99}\)
6.4.1 Datos no agrupados
Si \[P_k=\frac{k(n+1)}{100}; k=1, 2, \ldots, 99\] es entero entonces el cuartil es el dato de la posicion \(P_k=x_\frac{k(n+1)}{100}\) Si \[P_k=\frac{k(n+1)}{100}\] no es entero entonces el cuartil es la interpolacion lineal de de los dos valores entre las cuales se encuentra \(Q_k=\frac{k(n+1)}{100}\)
- Ejemplo 1, 2, 5, 1 ,5, 6, 7, 8, 9, 3, 4, 5, 2, 6, 2, 5, 6, 7 Al ordenar de manera creciente 1, 2, 5, 1 ,5, 6, 7, 8, 9, 3, 4, 5, 2, 6, 2, 5, 6, 7 y \[P_k=\frac{k(18+1)}{100}\]
6.4.2 Datos agrupados
\[P_k=L_i+ A\left(\frac{\frac{kn}{100}-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}\right)\]
| Clase | \(Y_i\) | \(f_i\) | \(F_i\) |
|---|---|---|---|
| \([5,10)\) | 7.5 | 1 | 1 |
| \([10,15)\) | 12.5 | 2 | 3 |
| \([15,20)\) | 17.5 | 5 | |
| \([20,25)\) | 22.5 | 7 | |
| \([25,30\) | 10 | ||
| \([30,35\) | 6 | ||
| \([35,40\) | 5 | ||
| \([40,45\) | 3 | ||
| \(\sum\) | 2 |