Capítulo 5 Medidas de dispersión
Son medidas o parametros que miden la dispersion de los datos, entre ellos tenmos
5.1 Rango
Es la longitud de un conjunto de datos, es decir la diferencia \[R=x_{max}-x_{min}\]
Por ejemplo sean los datos 2, 5, 6, 1, 7, 5, 8, 6 tiene el dato máximo \(x_{max}=8\) y el dato mínimo \(x_{min}=1\). Por lo tanto \(R=x_{max}-x_{min}=8-1=7.\)
5.2 Varianza
Mide la dispersión de los datos con respecto a la media
5.2.1 Datos no tabulados
Se usa la siguiente fórmula \[s^2=\frac{\sum\left(x_i-\overline{x}\right )^2}{n-1}\]
Ejemplo. Sean los datos 2, 5, 6, 1, 7, 5, 8, 6
\[\overline{x}=40/8=5\]
\[ \begin{aligned} s^2&=\frac{\sum\left(x_i-\overline{x}\right )^2}{n-1}\\ &=\frac{\left(x_1-\overline{x}\right )^2+\left(x_2-\overline{x}\right )^2+\left(x_3-\overline{x}\right )^2+\left(x_4-\overline{x}\right )^2+\left(x_5-\overline{x}\right )^2+\left(x_6-\overline{x}\right )^2+\left(x_7-\overline{x}\right )^2+\left(x_8-\overline{x}\right )^2}{8-1}\\ &=\frac{\left(2-5\right )^2+\left(5-5\right )^2+\left(6-5\right )^2+\left(1-5\right )^2+\left(7-5\right )^2+\left(5-5\right )^2+\left(8-5\right )^2+\left(6-5\right )^2}{8-1}\\ &=\frac{9+0+1+16+4+0+9+1}{7}\\ &=\frac{40}{7}=5.71 \end{aligned} \]
5.2.2 Datos tabulados
Sea la Tabla 4.1. Entonces la formula que resuelve la varianza es \[s^2=\frac{\sum f_i\left(Y_i-\overline{x}\right )^2}{n-1}\]
\(\overline{x}=\frac{\sum Y_i*f_i}{n}=747.5/31=24.11\)
| Clase | \(Y_i\) | \(f_i\) | \(Y_i*f_i\) |
|---|---|---|---|
| \([5,10)\) | 7.5 | 1 | 7.5 |
| \([10,15)\) | 12.5 | 2 | 25 |
| \([15,20)\) | 17.5 | 5 | 87.5 |
| \([20,25)\) | 22.5 | 7 | 157.5 |
| \([25,30]\) | 27.5 | 10 | 275 |
| \([30,35]\) | 32.5 | 6 | 195 |
| \(\sum\) | 31 |
Por lo tanto la varianza para datos agrupados es
\[ \begin{aligned} s^2&=\frac{\sum f_i\left(Y_i-\overline{x}\right )^2}{n-1}\\ &=\frac{f_1\left(Y_1-\overline{x}\right )^2+f_2\left(Y_2-\overline{x}\right )^2+f_3\left(Y_3-\overline{x}\right )^2+f_4\left(Y_4-\overline{x}\right )^2+f_5\left(Y_5-\overline{x}\right )^2+f_6\left(Y_6-\overline{x}\right )^2}{31-1}\\ &=\frac{1\left(7.5-24.11\right )^2+2\left(12.5-24.11\right )^2+5\left(17.5-24.11\right )^2+7\left(22.5-24.11\right )^2+10\left(27.5-24.11\right )^2+6\left(32.5-24.11\right )^2}{31-1} \\ &=\frac{1*275.89+2*134.79+5*43.69+7*2.59+10*11.49+6*7.39}{31-1} \\ &=\frac{275.89+269.58+218.45+18.13+114.9+44.34}{30}\\ &=\frac{941.29}{30}=31.38 \end{aligned} \]
Por lo tanto \[s^2= 31.38\]
5.3 Desviación típica
\[s=\sqrt{s^2}\]
La desviacion típica o estandar del siguiente conjunto de datos tabulados
| Clase | \(Y_i\) | \(f_i\) | \(Y_i*f_i\) |
|---|---|---|---|
| \([5,10)\) | 7.5 | 1 | 7.5 |
| \([10,15)\) | 12.5 | 2 | 25 |
| \([15,20)\) | 17.5 | 5 | 87.5 |
| \([20,25)\) | 22.5 | 7 | 157.5 |
| \([25,30)\) | 27.5 | 10 | 275 |
| \([30,35]\) | 32.5 | 6 | 195 |
| \(\sum\) | 31 |
es \[s=\sqrt{s^2}=\sqrt{31.38}=5.60\]
5.4 Desviación media absoluta
5.4.1 Datos no tabulados
\[DM=\frac{1}{n}\sum \left\vert x_i-\overline{x}\right\vert\]
Sean los datos 2, 5, 6, 1, 7, 5, 8, 6
\[\overline{x}=40/8=5\]
Entonces
\[ \begin{aligned} DM&=\frac{\sum\left\vert x_i-\overline{x}\right \vert}{n}\\ &=... Resolver \end{aligned} \]
5.4.2 Datos tabulados
\[DM=\frac{1}{n}\sum f_i \left \vert Y_i-\overline{x}\right\vert\]
\(Y_i\) marca de clase o punto medio de la clase \(i\)
\(\overline{x}=\frac{\sum Y_i*f_i}{n}=747.5/31=24.11\)
| Clase | \(Y_i\) | \(f_i\) | \(Y_i*f_i\) |
|---|---|---|---|
| \([5,10)\) | 7.5 | 1 | 7.5 |
| \([10,15)\) | 12.5 | 2 | 25 |
| \([15,20)\) | 17.5 | 5 | 87.5 |
| \([20,25)\) | 22.5 | 7 | 157.5 |
| \([25,30)\) | 27.5 | 10 | 275 |
| \([30,35]\) | 32.5 | 6 | 195 |
| \(\sum\) | 31 |
Por lo tanto la desviación media absoluta es
\[ \begin{aligned} DM&=\frac{\sum f_i\left \vert Y_i-\overline{x}\right \vert}{n}\\ &=\frac{f_1\left\vert Y_1-\overline{x}\right \vert +f_2\left\vert Y_2-\overline{x}\right \vert +f_3\left\vert Y_3-\overline{x}\right \vert +f_4\left\vert Y_4-\overline{x}\right \vert +f_5\left\vert Y_5-\overline{x}\right \vert +f_6\left\vert Y_6-\overline{x}\right \vert }{31}\\ &=\frac{1\left\vert 7.5-24.11\right \vert +2\left\vert 12.5-24.11\right \vert +5\left\vert 17.5-24.11\right \vert +7\left\vert 22.5-24.11\right \vert +10\left\vert 27.5-24.11\right \vert +6\left\vert 32.5-24.11\right \vert }{31}\\ &=\frac{1*16.61 +2*11.61 +5*6.61 +7*1.61 +10*3.39 +6*8.39 }{31}\\ \\ &=\frac{277.33}{31}=8.94\\ \end{aligned} \]
por lo tanto \[DM=8.94\]
5.5 Desviación mediana absoluta
5.5.1 Datos no tabulados
\[DMe=\frac{1}{n}\sum \left\vert Y_i-Me\right\vert\]
Sean los datos 2, 5, 6, 1, 7, 5, 8, 6 (Ejercicio)
5.5.2 Datos tabulados
\[DMe=\frac{1}{n}\sum f_i \left \vert Y_i-Me\right\vert\]
\(Me=?\) (Ejercicio)
| Clase | \(Y_i\) | \(f_i\) | \(Y_i*f_i\) |
|---|---|---|---|
| \([5,10)\) | 7.5 | 2 | 7.5 |
| \([10,15)\) | 12.5 | 3 | 25 |
| \([15,20)\) | 4 | 87.5 | |
| \([20,25)\) | 22.5 | 7 | 157.5 |
| \([25,30)\) | 27.5 | 10 | 275 |
| \([30,35]\) | 8 | 195 | |
| \(\sum\) |
Por lo tanto la desviacion de la mediana absoluta es
(Ejercicio)
\[ \begin{aligned} s^2&=\frac{\sum f_i\left \vert Y_i-Me\right \vert}{n}\\ &=\frac{f_1\left(Y_1-Me\right )^2+f_2\left(Y_2-Me\right )^2+f_3\left(Y_3-Me\right )^2+f_4\left(Y_4-Me\right )^2+f_5\left(Y_5-Me\right )^2+f_6\left(Y_6-Me\right )^2}{31}\\ &=complete \end{aligned} \]
5.6 Coeficiente de variacion
\[Cv=\frac{s}{\overline{x}}\cdot 100\] Si \(Cv>25\%\) se dice que los datos estan muy dispersos Si \(Cv<25\%\) se dice que los datos estan muy juntos
Para el conjunto de datos
| Clase | \(Y_i\) | \(f_i\) | \(Y_i*f_i\) |
|---|---|---|---|
| \([5,10)\) | 7.5 | 1 | 7.5 |
| \([10,15)\) | 12.5 | 2 | 25 |
| \([15,20)\) | 17.5 | 5 | 87.5 |
| \([20,25)\) | 22.5 | 7 | 157.5 |
| \([25,30)\) | 27.5 | 10 | 275 |
| \([30,35]\) | 32.5 | 6 | 195 |
| \(\sum\) | 31 |
\[Cv=\frac{5.60}{24.11}\cdot 100=0.23\cdot 100=23\%\]
5.7 Asignación
Halle el rango, la varianza, la desviación típica, desviación media, desviación mediana absoluta y el coeficiente de variación. Grafique el hstograma y ubique estos estadigrafos
| Clase | \(y_i\) | \(f_i\) | \(F_i\) |
|---|---|---|---|
| \([50,100)\) | 75 | 8 | 1 |
| \([100,150)\) | 20 | 3 | |
| \([150,200)\) | 50 | ||
| \([200,250)\) | 70 | ||
| \([250,300)\) | 100 | ||
| \([300,350]\) | 60 | ||
| \(\sum\) | 20 |
- Rango \(R=x_{max}-x_{min}\)
- Varianza \(s^2=\frac{\sum f_i\left(y_i-\overline{x}\right )^2}{n-1}\)
- Desviación típica \(s=\sqrt{s^2}\)
- Desviación media absoluta \(DM=\frac{1}{n}\sum f_i\left\vert y_i-\overline{x}\right\vert\)
- Desviación mediana absoluta \(DMe=\frac{1}{n}\sum f_i\left\vert y_i-Me\right\vert\)
- Coeficiente de variación \(CV=\frac{s}{\overline{x}}1000\)