Capítulo 2 Conjuntos

Definición 2.1 (Conjunto) Es una coleccion de elementos con características similares

2.1 Determinación de un conjunto

Definición 2.2 (Determinación de conjuntos) Por extensión y comprensión. Extensión \[A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\} \]

Comprensión \[A=\left\{ x \in \mathbb{N};0<x<5 \right\} \]

2.2 Conjuntos básicos

  • Conjuntos universal

  • Conjunto de los sitemas numéricos \[ \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \]

  • Cojunto vacio \[ \phi=\left\{x/x\neq x\right\} \]

  • Conjunto unitario \[ A=\left\{a\right\} \]

2.3 Función proposicional y cuantificadores

2.3.1 Función proposicional

Definición 2.3 (Función proposicional) Sea \(x\) una variable \(P(x)\) un enunciado, \(P(x)\) es una función proposicional si al sustituir la variable con una constante este se convierte en una proposición.

Por ejemplo \(P(x)\): \(x\) es un numero par

Al conjunto de todos lo valores de \(x\) se denomina domino de la variable

2.3.2 Cuantificadores

Definición 2.4 (Cuantificador existencial) Este cuatificador \[\exists\] Es una generalización de la disyunción Inclusiva. Por ello, es verdadero cuando al menos un valor de \(x\) perteneciente al Dominio de \(A\), es Verdadero. Se denota; \(\exists x / P (x)\) Se lee: “Existe al menos un \(x\),” “Algunos \(x\),” “Hay \(x\),” “Existe un \(x\),” etc.

Definición 2.5 (Cuantificador universal) Este cuatificador \[\forall\] Es una generalización de la conjunción. Debido a esto es verdadero cuando todos los valores de \(x\) que pertenecen al Dominio de \(A\) son Verdaderos. Se denota: \(\forall x ; p(x)\) Se lee: “Para Todo \(x\),” “Para cada \(x\),” “Todos (as) las \(x\),” “Todo \(x\).”

Sea \(A=\left\{1,2,3,4,5\right\}\) y la función proposicional \(3x-2<12\) entonces las proposiciones

  1. \(\forall x\in A:3x-1<14\)
  2. \(\exists\; x\in A:3x-2<12\)

son falsa y verdadera respectivamente

Definición 2.6 (Proposición universal) Una proposición universal es aquella que está provista de un cuantificador universal, y tiene la forma: \[\forall x\in A:p(x)\]

Definición 2.7 (Proposición existencial) Una proposición existencial es aquella que está provista de un cuantificador existencial, y tiene la forma: \[\exists x\in A:p(x)\]

Cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa, es decir \[\sim[\exists x\in A; P(x)]\equiv\forall x\in A;\sim P(x)\]

\[ \sim\left[\forall x\in A; P(x)\right]\equiv\exists\; x\in A;\sim P(x) \]

La negación del cuantificador universal es equivalente a la afirmación de un cuantificador existencial respecto de la función proposicional negada.

La negación de un cuantificador existencial es equivalente a la afirmación de un cuantificador universal respecto de la función proposicional negada.

Ejemplo 2.1 Dada la proposición: “Si todos los números primos son impa­res, los números positivos son mayores que -1”

  • Expresarla simbólicamente
  • Negar oracionalmente la proposición

Solución. Sea \(p(x):\) números primos son impares y \(q(x):\) números positivos mayores que -1

  • \(\forall x:[p(x)\rightarrow q(x)]\)

  • Negando el item anterior \[ \begin{aligned} \sim\left\{\forall x:[p(x)\rightarrow q(x)]\right\} \equiv& \sim\left\{\forall x:p(x)\rightarrow \forall x:q(x)\right\}\\ =&\sim\left\{\sim[\forall x:p(x)]\vee \forall x:q(x)\right\}\\ \equiv&\quad\forall x:p(x)\wedge \exists\; x:\sim q(x) \end{aligned} \] que se lee: “Todos los números primos son impares y algunos números no son mayores que -1”

Ejemplo 2.2 Dado el conjunto \(A=\left\{x\in\mathbb{N}:-14<x<27\right\}\). Hallar el valor de verdad de \[ s=[(\sim p\wedge \sim q)\rightarrow(\sim q\wedge \sim r)]\leftrightarrow(\sim p\vee r) \] si \(p=(\forall x\in A, \exists y\in A, \forall z\in A)[x^2-z^2>y^2]\), \(q=(\exists y\in A, \forall z\in A, \exists x \in A)[2x-4y<-z]\) y \(r=(\forall z\in A, \exists x\in A, \forall y \in A)[3x^2-z^2>y]\)

Solución. \(A=\left\{1,2,3,\ldots,26\right\}\) luego el valor de \(\text{V}(p)=F\), \(\text{V}(q)=V\) y \(\text{V}(r)=V\) pues

  • Si \(y=1\) entonces \(x^2-z^2>y^2\equiv x^2>1+z^2\) lo cual no es valido \(\forall x,z\in A\) entonces \(\text{V}(p)=F\)
  • Si \(y=25\in A\) y \(x=1\in A\) entonces \(2x-4y<-z\equiv 2+z<100\) lo cual es valido \(\forall z\in A\) entonces \(\text{V}(q)=V\)
  • Si \(x=26\in A\) entonces \(3x^2-z^2>y\equiv3(26)^2>z^2+y\) lo cual es valido \(\forall z,y\in A\) entonces \(\text{V}(r)=V\) por lo tanto \[ \begin{aligned} \text{V}(s)&=\text{V}[(\sim p\wedge \sim q)\Longrightarrow(\sim q\wedge \sim r)]\Longleftrightarrow(\sim p\vee r)\\ &=[(V\wedge F)\Longrightarrow(F\wedge F)]\Longleftrightarrow(V\vee V)\\ &=[F\Longrightarrow F]\Longleftrightarrow V\\ &=V \end{aligned} \]

Ejercicio 2.1 Dada la proposición: “Obtendré un puntaje aprobatorio si y solo si estudio concienzudamente el curso”

  • Expresarla simbólicamente
  • Negar oracionalmente la proposición

Ejercicio 2.2 Dado el conjunto \(G=\left\{x\in\mathbb{Z}^+:-14<2x<20\right\}\). Hallar el valor de verdad de \[ s=(p\wedge \sim q)\rightarrow[(\sim q\wedge \sim r)\leftrightarrow(\sim p\vee r)] \] si \(p=(\forall x\in A, z\in \mathbb{N_0})[xz\in \mathbb{Z}]\), \(q=(\forall z\in A,\exists x \in A)[x\neq y]\) y \(r=(\forall z\in A, \forall y \in A)[yx^2>500]\)

2.4 Conjuntos Iguales

\[\begin{aligned}A=B&\Longleftrightarrow \left\{(x\in A\rightarrow x\in B)\wedge(x\in B\rightarrow x\in A)\right\}\\ &\Longleftrightarrow x\in A \leftrightarrow x\in B \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}A\neq B&\Longleftrightarrow \left\{(\exists x\in A; x\notin B)\vee(\exists x\in B; x\notin A)\right\}\\ &\Longleftrightarrow x\in A \leftrightarrow x\in B \end{aligned}\]

2.4.1 Propiedades

  • \(A=A\)
  • \(A=B\rightarrow B=A\)
  • \(A=B\) y \(B=C\) entonces \(A=C\)

2.5 Inclusión y subconjuntos

\[ \begin{aligned} A\subset B&\leftrightarrow\left\{x\in A\rightarrow x\in B\right\}\\ &\leftrightarrow\left\{\forall x\in A, x\in B\right\} \end{aligned} \]

\[ A\not\subset B\leftrightarrow\exists x\in A\;|\; x\notin B \]

2.5.1 Propiedades

  • \(A\subset A\)
  • \(A\subset B\wedge B\subset A\rightarrow A\subset B\)
  • \(A\subset B\wedge B\subset C\rightarrow A\subset C\)
  • \(\forall A\) \(\emptyset\subset A\)

2.6 Conjuntos disjuntos

\[ A\text{ disjunto de } B\leftrightarrow\nexists x\;|\; x\in A\wedge x\in B \]

2.7 Conjunto potencia

\[ P(A)=\left\{X\;|\;X\subset A\right\} \]

Observación. Tiene las siguientes Propiedades

  • \(P(A)\) tiene \(2^n\) elementos
  • \(\emptyset\in P(A)\)
  • \(A\in P(A)\)

Propiedades

  • \(P(\emptyset)=\left\{\emptyset\right\}\)
  • \(A\subset B\leftrightarrow P(A)\subset P(B)\)
  • \(A= B\leftrightarrow P(A)= P(B)\)

2.8 Representación Gráfica de los Conjuntos

Diagrama de euler

2.9 Operaciones entre conjuntos

2.9.1 Unión

\[ A\cup B =\left\{x/x\in A\vee x\in B\right\} \]

Propiedades

  • \(A\cup A=A\)
  • \(A\cup \emptyset=A\)
  • \(A\cup U=U\)
  • \(A\cup B=B\cup A\)
  • \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\)

2.9.2 Intersección

\[ A\cap B=\left\{x/x\in A\wedge x\in B\right\} \]

\[ x\in A\cap B\leftrightarrow x\in A\wedge x\in B \]

Propiedades

  • \(A\cap A=A\)
  • \(A\cap \emptyset=\emptyset\)
  • \(A\cap U=A\)
  • \(A\cap B=B\cap A\)
  • \((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\)

2.9.3 Diferencia

\[ A- B=\left\{x/x\in A\wedge x\notin B\right\} \]

\[ x\in A- B\leftrightarrow x\in A\wedge x\notin B \]

Propiedades

  • \(A- A=\emptyset\)
  • \(A- \emptyset=A\)
  • \(\emptyset-A=\emptyset\)
  • \(A- B\subset A\)
  • \((A-B)=(A\cup B)-B)=A-(A\cap B)\)

2.9.4 Complemento

\[ \mathcal{C}_BA=B-A=\left\{x/x\in B\wedge x\notin A\right\} \]

\[ x\in \mathcal{C}_BA\leftrightarrow x\in B\vee x\notin W \]

Si \(B=U\) entonces \(\mathcal{C}_BA=A'=A^C=\overline{A}\)

Propiedades

  • \(\mathcal{C}_BA\subset B\) y \(\mathcal{C}_AB\subset A\)
  • \(A'\cup A=U\) o \(A\cup \mathcal{C}_AB=A\)
  • \(A\cap A'=\emptyset\) o \(A\cap \mathcal{C}_AB=\emptyset\)
  • \(U'=\emptyset\) o \(\mathcal{C}_AA=\emptyset\)
  • \(\emptyset'=U\) o \(\mathcal{C}_A\emptyset=A\)
  • \((A')'=A\) o \(\mathcal{C}_B(\mathcal{C}_BA)=A\)
  • \(A-B=A\cap B'\) o \(A-B=A\cap \mathcal{C}_AB\)

2.9.5 Diferencia simétrica

\[ A\Delta B=\left\{x/(x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in B)\right\} \]

\[ x\in A\Delta B\leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in B) \]

Propiedades

  • \(A\Delta B=\emptyset\)
  • \(A\Delta \emptyset=A\)
  • \(A\Delta B=B\Delta A\)
  • \((A\Delta B)\Delta C=A\Delta(B\Delta C)\)
  • \((A\Delta B)\cap C=(A\Delta C)\Delta(B\Delta C)\)
  • \((A\Delta B)\cup(B\Delta C)=(A\cup B\cup C)-(A\cap B\cap C)\)

2.10 Ejercicios

Ejercicio 2.3 Resuelva

  1. Sea \(U=\left\{x\in\mathbb{N}|0<x\leq 10\right\}\) y los subconjuntos: \(A=\left\{x\in\mathbb{N}|x \text{ es primo}\right\}\), \(B=\left\{x\in\mathbb{N}| x\text{ es es un cuadrado perfecto}\right\}\) y \(C=\left\{x\in\mathbb{N}|x\text{ es impar}\right\}\). Hallar
    • \((A\cup B)'-C\)
    • \((A-C)'\cap B\)
    • \((A\Delta B)-(A\Delta C)\)
    • \((A\cap C)'-(B\cup C)'\)
  2. Dados los conjuntos \(A=\left\{x\in\mathbb{Z}|\sim[x\leq -2\vee x>3]\right\}\), \(B=\left\{x\in\mathbb{N}|\sim[-1<x\leq 3 \rightarrow x=5]\right\}\) y \(C=\left\{x\in\mathbb{Z}|(x< -2\vee x\geq 2)\rightarrow x>1\right\}\) Hallar el resultado de \((B\cap C)\Delta(A\cap B)\)

Ejercicio 2.4 Sombree las regiones correspondientes a los conjuntos

  • \(\left\{ \left[ \left( A\cup B \right)'\cap \left( C \Delta D \right) \right] \cap B \right\} \Delta C\)

  • \(\left[ \left( A\cup B \right)'\cap \left( C \Delta D \right) \right]-\left( B\cap C \right)\)

  • \(\left\{ \left[ \left( A\cup B \right)'\cap C \right] \Delta D \right\} -\left( A\cup B \right)\)

Ejemplo 2.3 \[ \left\{ \left[ \left( A\cup B \right)'\cap C \right] \cap B \right\} \Delta C \]

2.11 Número de elementos de un Conjunto. Propiedades

Definición 2.8 \[ \left\{ \left[ \left( A\cup B \right)'\cap C \right] \cap B \right\} \Delta C \]

\[ n(A) \]